Question

【題目】已知橢圓．

（1）若過點的直線l與橢圓C恒有公共點，求實數a的取值范圍；

（2）若存在以點B（0，2）為圓心的圓與橢圓C有四個公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)．(2)．

【解析】

（1）點在橢圓上或橢圓內，解不等式即得；

（2）要使得圓和橢圓有四個公共點，利用對稱性，考慮到在軸上，只要在橢圓的左半邊（或右半邊）存在不同兩點到B點的距離相等，設動點Q（x0，y0）在橢圓上，，

令，只要f（y0）在y0∈（﹣1，1）上不單調即可．

（1）要使得直線l與橢圓C恒有公共點，則點要在橢圓上或者橢圓內，

∴，∴．

（2）法一：要使得圓和橢圓有四個公共點，利用對稱性，

所以在橢圓的左半邊（或右半邊）存在不同兩點到B點的距離相等，

設動點Q（x0，y0）在橢圓上，，

令，使得f（y0）在y0∈（﹣1，1）上不單調，

∴，

∴．

法二：設圓B：x2+（y﹣2）2＝r2，，

整理得：（1﹣a2）y2﹣4y+a2+4﹣r2＝0，

所以存在r，使得方程（1﹣a2）y2﹣4y+a2+4﹣r2＝0在（﹣1，1）上有兩解，

令函數f（y）＝（1﹣a2）y2﹣4y+a2+4﹣r2，對稱軸，

只需即可，

∴．