Question

【題目】如圖，P是直線x=4上一動點，以P為圓心的圓Γ經定點B（1，0），直線l是圓Γ在點B處的切線，過A（﹣1，0）作圓Γ的兩條切線分別與l交于E，F兩點．

（1）求證：|EA|+|EB|為定值；
（2）設直線l交直線x=4于點Q，證明：|EB||FQ|=|BF|EQ|．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設AE切圓于M，直線x=4與x軸的交點為N，則EM=EB，

∴|EA|+|EB|=|AM|= = = =4為定值；

（2）證明：同理|FA|+|FB|=4，

∴E，F均在橢圓 =1上，

設直線EF的方程為x=my+1（m≠0），令x=4，yQ= ，

直線與橢圓方程聯立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

設E（x1，y1），F（x2，y2），則y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣

∵E，B，F，Q在同一條直線上，

∴|EB||FQ|=|BF|EQ|等價于﹣y1 +y1y2=y2 ﹣y1y2，

∴2y1y2=（y1+y2） ，

代入y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ 成立，

∴|EB||FQ|=|BF|EQ|．

【解析】（1）設AE切圓于M，則EM=EB，即|EA|+|EB|=|AM|即可求出；
（2）先確定E，F均在橢圓上，設直線EF的方程為x=my+1（m≠0），聯立E，B，F，Q在同一條直線上，即|EB||FQ|=|BF|EQ|等價于利用韋達定理，即可證明。
【考點精析】掌握直線與圓的三種位置關系是解答本題的根本，需要知道直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點．