Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性

（2）若函數有一個大于的零點，求實數的取值范圍；

（3）若，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2）.（3）證明見解析

【解析】

（1）求導后，分別在和兩種情況下，根據導函數的正負得到原函數的單調性；

（2）當和時，根據函數的單調性和，可知不滿足題意；當時，得到函數單調性；由，利用導數證得，根據零點存在定理可知有一個大于的零點，滿足題意，由此得到結果；

（3）由（2）可知，將所證不等式轉化為，令，利用導數可說明，由此證得結論.

（1）由題意知：的定義域為，，

①當時，恒成立，在上單調遞增；

②當時，令，解得：，

當時，；當時，；

在上單調遞增，在上單調遞減；

綜上所述：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）由（1）知：當時，且單調遞增，不存在大于的零點.

當，即時，在上單調遞減，又，

在上恒成立，無零點，不符合題意.

當，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，

，，

令，設，則，

，在上單調遞減，

，在上單調遞減，

，即，

在上無零點，在上有唯一零點，即有一個大于的零點；

綜上所述：滿足條件的實數的取值范圍是.

（3）證明：由（2）得：且，

由知：要證，即證，

即證，

令，則，

在上單調遞增，，

，由此證得：.