Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣2|．
（1）若函數f（x）的值域為[﹣4，4]，求實數m的值；
（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集為M，且[2，4]M，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由不等式的性質得：||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|

因為函數f（x）的值域為[﹣4，4]，

所以|m﹣2|=4，

即m﹣2=﹣4或m﹣2=4

所以實數m=﹣2或6

（2）解：f（x）≥|x﹣4|，即|x﹣m|﹣|x﹣2|≥|x﹣4|

當2≤x≤4時，|x﹣m|≥|x﹣4|+|x﹣2||x﹣m|≥﹣x+4+x﹣2=2，|x﹣m|≥2，

解得：x≤m﹣2或x≥m+2，

即原不等式的解集M=（﹣∞，m﹣2]或M=[m+2，+∞），

∵[2，4]M，

∴m+2≤2m≤0或m﹣2≥4m≥6

所以m的取值范圍是（﹣∞，0]∪[6，+∞）

【解析】（1）由不等式的性質得：||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|，即|m﹣2|=4，解得實數m的值；（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集M=（﹣∞，m﹣2]或[m+2，+∞），結合[2，4]M，可求實數m的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的值域的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最�。ù螅�數，這個數就是函數的最�。ù螅┲担�因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．