Question

【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為 ， ，若橢圓上存在點 使 成立，則該橢圓的離心率的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】在△PF1F2中，由正弦定理得： ，則由已知得： ，
即：a|PF1|=|cPF2|
設點（x0 ， y0）由焦點半徑公式，
得：|PF1|=a+ex0 ， |PF2|=a-ex0,則a（a+ex0）=c（a-ex0）
解得：x0= ，由橢圓的幾何性質知：x0＞-a則 >-a
整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜- -1或e＞ -1，又e∈（0，1），
故橢圓的離心率：e∈( -1，1).
故答案為：( -1，1)．
先用正弦定理將條件轉化,為a,c與點P的焦半徑間的關系,再用焦半徑長公式將點P的橫坐標表示為a,c的形式,用點P的橫坐標的范圍整理為關于a,c的齊次不等式,求離心率的范圍.