Question

函數y=x²（x＞0）的圖象在點（a_k，a_k²）處的切線與x軸交點的橫坐標為a_k+1，k為正整數，a₁=

1

2

，則a_n=

(

1

2

)n

．

Answer 1

分析：由y=x²（x＞0），知函數y=x²（x＞0）的圖象在點（a_k，a_k²）處的切線方程為：2akx-y-ak2=0 ，當y=0時，x=a_k+1=

1

2

ak，由a₁=

1

2

，知{a_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，由此能求出a_n．

解答：解：∵y=x²（x＞0），
∴y′=2x，f′（a_k）=2a_k，
∴函數y=x²（x＞0）的圖象在點（a_k，a_k²）處的切線方程為：
y-ak2=2ak(x-ak)，
整理，得2akx-y-ak2=0 ，
當y=0時，x=a_k+1=

1

2

ak，
∵a₁=

1

2

，∴{a_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，
∴an=(

1

2

)n．
故答案為：(

1

2

)n．

點評：本題考查數列與函數的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數的性質、函數的切線方程、等比數列等知識點的合理運用．