Question

函數y=x²（x＞0）的圖象在點（a_k，a_k²）處的切線與x軸交點的橫坐標為a_k+1（ k為正整數），其中a₁=16．設正整數數列{b_n}滿足：b1=

a1

a2

，b2=a3+a4，當n≥2時，有|bn2-bn-1bn+1|＜

1

2

bn-1．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（Ⅱ）求數列{b_n}的通項；
（Ⅲ）記Tn=

12

b1

+

22

b2

+

32

b3

+…+

n2

bn

，證明：對任意n∈N^*，Tn＜

9

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在點（a_k，a_k²）處的切線方程為：y-a_k²=2a_k（x-a_k），當y=0時，解得x=

ak

2

，所以ak+1=

ak

2

，由a₁=16，知a₂=8，a₃=4，由此能推導出b₁，b₂，b₃，b₄的值．
（Ⅱ）猜想：b_n=2•3^n-1，再由數學歸納法進行證明．
（Ⅲ）由2Tn=1+

22

3

+

32

32

+…+

n2

3n-1

，得

2

3

Tn=

12

3

+

22

32

+…+

(n-1)2

3n-1

-

n2

3n

，所以

4

9

Tn=

1

3

+

3

32

+…+

2n-3

3n-1

-

2n-1

3n

-

n2

3n+1

，

8

9

Tn=1+

2

3

+

2

32

+…+

2

3n-1

-

(n-1)2

3n

-

n2

3n+1

=2-

2(n2-3n+6)

3n+1

＜2，故Tn＜

9

4

．

解答：解：（Ⅰ）在點（a_k，a_k²）處的切線方程為：y-a_k²=2a_k（x-a_k），
當y=0時，解得x=

ak

2

，所以ak+1=

ak

2

，
又∵a₁=16，∴a₂=8，a₃=4，
a₄=2b1=

a1

a2

=2，b2=a3+a4=6
n=2時，|b22-b1b3|＜

1

2

b1，
由已知b₁=2，b₂=6，得|36-2a₃|＜1，
因為b₃為正整數，所以b₃=18，同理b₄=54..（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：b_n=2•3^n-1（5分）
證明：①n=1，2時，命題成立；
②假設當n=k-1與n=k（k≥2且k∈N）時成立，
即b_k=2•3^k-1，b_k-1=2•3^k-2．
于是|bk2-bk-1bk+1|＜

1

2

bk-1，
整理得：|

bk2

bk-1

-bk+1|＜

1

2

由歸納假設得：|2•3k-bk+1|＜

1

2

?2•3k-

1

2

＜bk+1＜2•3k+

1

2

因為b_k+1為正整數，所以b_k+1=2•3^k
即當n=k+1時命題仍成立．
綜上：由知①②知對于?n∈N^*，有b_n=2•3^n-1成立（10分）
（Ⅲ）證明：由2Tn=1+

22

3

+

32

32

+…+

n2

3n-1

③
得

2

3

Tn=

12

3

+

22

32

+…+

(n-1)2

3n-1

-

n2

3n

④
③式減④式得

4

3

Tn=

12

3

+

22

32

+…+

(n-1)2

3n-1

-

n2

3n

⑤

4

9

Tn=

1

3

+

3

32

+…+

2n-3

3n-1

-

2n-1

3n

-

n2

3n+1

⑥
⑤式減⑥式得

8

9

Tn=1+

2

3

+

2

32

+…+

2

3n-1

-

(n-1)2

3n

-

n2

3n+1

=-1+2(1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

)-

(n-1)2

3n

+

n2

3n+1

=1+2•

1- 1 3n

1- 1 3

=

(n-1)2

3n

+

n2

3n+1

=-1+3-

1

3n-1

-

(n-1)2

3n

+

n2

3n+1

=2-

2(n2-3n+6)

3n+1

＜2
則Tn＜

9

4

．（16分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．