Question

【題目】已知函數.

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）當時，恒有，求實數的取值范圍.

附：，.

Answer 1

【答案】(1)見解析.(2) .

【解析】

(1)首先求得導函數，然后分類討論和兩種情況確定函數的單調性即可；

(2)原問題等價于函數的最大值小于零，結合函數的單調性分類討論函數的最大值，然后分別求解關于m的不等式即可確定實數的取值范圍.

（1）

.

①若，在區間上恒成立，

所以函數在區間上單調遞減；

②若，由，解得或；由，解得.

所以函數在區間，上單調遞減；在區間上單調遞增.

綜上所述，當時，函數在區間上單調遞減；

當時，函數在區間，上單調遞減；在區間上單調遞增.

（2）由（1）知，.因為，所以.

①若，則，由，解得；由，解得.

所以函數在區間上單調遞減；在區間上單調遞增.

所以當時，取得最大值為，

所以當時，恒成立.

②若，由，解得；由，解得或，

所以函數在區間上單調遞增；在區間，上單調遞減.

所以當時，取得極小值，極小值為，當時，取得極大值，極大值為.

要使當時，，則需，解得.

因為 ，所以.

又，所以時，恒成立.

③若，由（1）知，函數在區間上單調遞減，又，

所以當時，，不滿足題意.

④若，由（1）知，函數在區間，上單調遞減；在區間上單調遞增.故當時，函數取得極小值，極小值為，不滿足題意.

綜上可知，實數的取值范圍為.