Question

【題目】設點,的坐標分別為,,直線,相交于點,且它們的斜率之積為-2,設點的軌跡是曲線.

（1）求曲線的方程;

（2）已知直線與曲線相交于不同兩點、（均不在坐標軸上的點）,設曲線與軸的正半軸交于點,若,垂足為且,求證：直線恒過定點.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）建立平面直角坐標系,設,根據直線,的斜率之積為-2,列方程,整理即可得出曲線的軌跡方程.

（2）聯立直線與曲線方程得,根據有兩個不相同的交點,有根的判別式得①,再利用韋達定理得,.

根據列等式方程,整理即可求出或,分別與討論得出直線恒過定點.

解:（1）建立平面直角坐標系,設,

因為直線,的斜率之積為-2

所以,

整理得曲線的方程為:

（2）由題意:聯立

得,

由得①

設,,則,.

,

所以

即,

,

所以或均適合①.

當時,直線過點,

當時,直線過點,舍.

所以直線恒過定點.