Question

【題目】已知函數，.

（1）若函數在區間上的最大值和最小值之和為6，求實數的值；

（2）設函數，若函數在區間上恒有零點，求實數的取值范圍；

（3）在問題（2）中，令，比較與0的大小關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）；（3）.見解析

【解析】

（1）由指數函數中底數大于1，函數單調遞增，表示在上最大最小值，由已知構建方程，借助換元法求得答案；

（2）由的單調性，可知常數的單調性也是單調增函數，由函數零點的存在性定理可知，整理得，由，解不等式組得答案；

（3）當時，表示，對其通分、化簡、配成完全平方式，可得答案.

（1）因為在上單調遞增，所以在上最大最小值分別為，，又因為最大最小值之和為6，所以，

設，則，解之得：，（舍去）

當時得，所以；

（2）因為在上單調增函數，

所以在上也是單調增函數，

若函數在區間上恒有零點，則必有，

即，整理得

因為，所以，解得；

（3）當時，

因為，所以，所以.