Question

【題目】邊長為1的正方形（及其內部）繞的旋轉一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側.

（1）求二面角的大�。唬ńY果用反三角函數值表示）

（2）用一平行于的平面去截這個圓柱，若該截面把圓柱側面積分成兩部分，求與該截面的距離；

（3）求線段，繞著旋轉所形成的幾何體的表面積.

Answer 1

【答案】(1) 二面角的大小為.

(2) 與該截面的距離為.

(3)表面積為.

【解析】

(1)先作出二面角的平面角，結合余弦定理即可計算；

(2)由圓柱的側面積等于周長高，可知截面將圓柱分為等高的兩部分，即可將問題轉化為截面與圓的交線將圓周分成兩部分，即可求得弦心距，根據直線與平面平行，則線面的距離即為直線上任意點到平面的距離，進一步求解即可；

(3)先分析旋轉體的形狀，即可求解.

(1)取中點，連接,過點作交圓于點,連接,如圖因為長為，長為，所以 所以為等邊三角形，則,故為二面角的平面角，,,由余弦定理可得，,故二面角的大小為.

(2)設截面與圓的交點為,截面把圓柱側面積分成兩部分等價于劣弧的長是優弧的倍，所以劣弧對應的圓心角為，圓心到弦的距離為，因為截面平行于，所以與該截面的距離等價于圓心到弦的距離，故與該截面的距離為.

(3)根據題意可知，線段繞著旋轉所形成的幾何體為如圖所示的圓錐，其中,所以該幾何體的表面積為.