Question

【題目】已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面且 是的中點．

（1）證明：平面平面；

（2）求與夾角的余弦值；

（3）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

建立空間直角坐標系，求出的坐標，

(1)通過證明，利用，即可證明結論成立；

(2)求出與的方向向量，由，即可求出結果；

(3)在上取一點，則存在，使,求出，再說明為所求二面角的平面角，利用向量夾角公式即可求出結果.

以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，

則

(1)證明：因為

所以，所以.

由題設知，且，

所以平面.

又平面，所以平面平面.

(2)因為，，

所以

故與夾角的余弦值為.

(3)在上取一點，則存在，使，又

所以，

要使，只需，即，解得，可知當時，N點的坐標為，能使，此時，有，

由得，

所以為所求二面角的平面角．

所以，

所以二面角的平面角的余弦值為.