Question

【題目】已知橢圓 的四個頂點組成的四邊形的面積為 ，且經過點 ．

（1）求橢圓 的方程；
（2）若橢圓 的下頂點為 ，如圖所示，點 為直線 上的一個動點，過橢圓 的右焦點 的直線 垂直于 ，且與 交于 兩點，與 交于點 ，四邊形 和 的面積分別為 ．求 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 在橢圓 上，所以 ，
又因為橢圓四個頂點組成的四邊形的面積為 ，所以 ，
解得 ，所以橢圓 的方程為
（2）解：由（1）可知 ，設 ，
則當 時， ，所以 ，
直線 的方程為 ，即 ，
由 得 ，
則 ，
，
，
又 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
當 ，直線 ， ， ， ， ，
所以當 時，
【解析】(1)由條件得到關于a,b,c的方程組求a,b,c得到橢圓方程;
(2)設出直線AB的反演式方程,代入到橢圓方程中,消去y得到關于x的一元二次方程,由韋達定理得到兩根和與積,再將三角形與四邊形的面積之積表示為m的函數式,用均值不等式求最值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．