Question

【題目】已知函數f（x）=loga（ax2﹣x+1），其中a＞0且a≠1．
（1）當a= 時，求函數f（x）的值域；
（2）當f（x）在區間 上為增函數時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當 時， 恒成立，

故定義域為R，

又∵ ，且函數 在（0，+∞）單調遞減，

∴ ，即函數f（x）的值域為（﹣∞，1]

（2）解：依題意可知，

i）當a＞1時，由復合函數的單調性可知，必須ax2﹣x+1在 上遞增，且ax2﹣x+1＞0對 恒成立．

故有 ，解得：a≥2；

ii）當0＜a＜1時，同理必須ax2﹣x+1在 上遞減，且ax2﹣x+1＞0對 恒成立．

故有 ，解得： ．

綜上，實數a的取值范圍為

【解析】（1）當a=時，可判斷出函數f（x）的定義域為R，結合復合函數的單調性，不難得出f（x）的值域，（2）對a進行分類討論，結合復合函數的單調性，解出a的取值范圍.
【考點精析】利用函數的值域和復合函數單調性的判斷方法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最�。ù螅�數，這個數就是函數的最�。ù螅┲担�因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”．