Question

【題目】已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x= 取得最大值2，方程f（x）=0的兩個根為x1、x2 ， 且|x1﹣x2|的最小值為π．
（1）求f（x）；
（2）將函數y=f（x）圖象上各點的橫坐標壓縮到原來的 ，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求函數g（x）的單調增區間和在（﹣ ， ）上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x= 取得最大值2，∴A=2，

方程f（x）=0的兩個根為x1、x2，且|x1﹣x2|的最小值為 = =π，∴ω=1，

再根據五點法作圖可得1 +φ= ，∴φ= ，∴

（2）解：將函數y=f（x）圖象上各點的橫坐標壓縮到原來的 ，縱坐標不變，得到函數y=g（x）=2sin（2x+ ）的圖象，

令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，可得函數g（x）的增區間為[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z．

在（﹣ ， ）上，∵2x+ ∈（﹣ ， ），∴g（x）=2sin（2x+ ）∈（﹣1，2]

【解析】（1）由最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數的解析式．（2）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數的單調性、定義域和值域，求得結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．