Question

【題目】已知函數， .

（1）求函數在點點處的切線方程；

（2）當時，求函數的極值點和極值；

（3）當時， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）的極大值，函數無極小值;（3）.

【解析】試題分析：（1）由導數幾何意義可得切線斜率，再根據點斜式可得切線方程，（2）求函數極值，先求函數導數在定義域上的零點，根據導函數符號變化規律確定是否為極值以及極大值、極小值，（3）不等式恒成立問題，一般轉化為求對應函數最值問題，而求含參數函數最值，往往需要討論，討論點一般為使導函數符號變化的值.

試題解析：（1）由題，所以，

所以切線方程為：

（2）由題時， ，所以

所以； ，

所以在單增，在單減，所以在取得極大值.

所以函數的極大值，函數無極小值

（3），令，

，令，

（1）若， ， 在遞增，

∴在遞增， ，從而，不符合題意

（2）若，當， ，∴在遞增，

從而，以下論證同（1）一樣，所以不符合題意

（3）若， 在恒成立，

∴在遞減， ，

從而在遞減，∴， ，

綜上所述， 的取值范圍是.