Question

已知為函數圖象上一點，為坐標原點，記直線的斜率．
（1）若函數在區間上存在極值，求實數的取值范圍；
（2）當 時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
（3）求證：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查導數的應用、不等式、數列等基礎知識，考查思維能力、運算能力和思維的嚴謹性.第一問，考查求導求極值問題；第二問，是恒成立問題，將第一問的代入，整理表達式，得出，構造函數，下面的主要任務是求出函數的最小值，所以；第三問，是不等式的證明，先利用放縮法構造出所證不等式的形式，構造數列，利用累加法得到所證不等式的左邊，右邊利用裂項相消法求和，再次利用放縮法得到結論.
試題解析：（1）由題意，,所以       2分
當時，；當時，．
所以在上單調遞增，在上單調遞減，故在處取得極大值．
因為函數在區間（其中）上存在極值，
所以，得．即實數的取值范圍是．        4分
（2）由得，令，
則．                           6分
令，則，
因為所以,故在上單調遞增．        8分
所以,從而
在上單調遞增,
所以實數的取值范圍是．                    10分
（3）由(2) 知恒成立,
即         12分
令則，        14分
所以， ，  ,．
將以上個式子相加得：，
故．               16分