Question

【題目】設直線y=t與曲線C：y=x（x﹣3）2的三個交點分別為A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．現給出如下結論：

①abc的取值范圍是（0，4）；

②a2+b2+c2為定值；③a+b+c=6

其中正確結論的為_______

Answer 1

【答案】①②③

【解析】設y=f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，則f′（x）=3x2﹣12x+9，

令f′（x）=0，解得x=1或x=3；

當x＜1或x＞3時，f′（x）＞0，當1＜x＜3時，f′（x）＜0；

∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函數，在（1，3）上是減函數，在（3，+∞）上是增函數；

當x=1時，f（x）取得極大值f（1）=4，當x=3時，f（x）取得極小值f（3）=0；

作出函數f（x）的圖象如圖所示：

∵直線y=t與曲線C：y=x（x﹣3）2有三個交點，由圖象知0＜t＜4，①正確；

令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，則a，b，c是g（x）=0的三個實根．

∴x3﹣6x2+9x﹣t=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），

即x3﹣6x2+9x﹣t=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc，

∴a+b+c=6，ab+bc+ac=9，abc=t，③正確；

∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18，∴②正確；

綜上，正確的命題序號是①②③．

故答案為：①②③．