Question

【題目】已知.

（I）討論的單調性；

（II）當有最大值,且最大值大于時,求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）

【解析】試題分析：

（1）由題已知函數的解析式（注意定義域），可運用導數求出函數的單調區間。即： 為函數的增區間，反之為減區間。由導函數中含有字母參數，需分類討論；

（2）由題給出了函數的最大值的范圍大于，再結合（1）已知函數的單調區間，可對應單調性，表示出函數的最大值，從而建立不等式lna+a-1＜0，需構造函數利用單調性解出不等式的解，而求出的取值范圍。

試題解析：

（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定義域為（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，

若a≤0，則f′（x）＞0，∴函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

若a＞0，則當x∈（0，）時，f′（x）＞0，

當x∈（，+∞）時，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上單調遞增，在（，+∞）上單調遞減，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上無最大值；

當a＞0時，f（x）在x=取得最大值，最大值為f（）=﹣lna+a-1，

∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a-1＜0，

令g（a）=lna+a-1，∵g（a）在（0，+∞）單調遞增，g（1）=0，

∴當0＜a＜1時，g（a）＜0，當a＞1時，g（a）＞0，∴a的取值范圍為（0，1）.