Question

【題目】設橢圓的離心率為，且經過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線與橢圓交兩點，是坐標原點，分別過點作，的平行線，兩平行線的交點剛好在橢圓上，判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，6.

【解析】

（1）設橢圓的半焦距為，運用橢圓的離心率公式，結合點在橢圓上，以及，求出，，，寫出橢圓方程即可；

（2）通過化簡得，將問題轉化為求證是定值，然后分直線的斜率不存在與不存在兩種情況進行討論：①斜率不存在時，利用橢圓的對稱性求出，坐標，計算；②斜率存在時，設直線的方程為，聯立橢圓方程消去，利用韋達定理表示出與，求出點坐標，代入橢圓方程化簡得，計算與點到直線的距離，即可得到，綜合兩種情況即可得到結論.

（1）設橢圓的半焦距為，

橢圓的離心率為，

.①

又橢圓經過點，

.②

結合，③

由①②③，解得.

故橢圓的標準方程是.

（2）

.

①當直線的斜率不存在時，不妨設，，

根據對稱性知兩平行線的交點在軸上，

又交點剛好在橢圓上，

交點為長軸端點，則滿足條件的直線的方程是.

此時點，或，，

，

故；

②當直線的斜率存在時，

設直線的方程為，，.

聯立方程，

消去得，

則，，，

，

不妨設兩平行線的交點為點，則，

故點的坐標為，

點剛好在橢圓上，

，

即

此時，

則

，

設點到直線的距離為，則.

.

故.

綜上，為定值6.