【題目】已知
，
（
且
），函數
.
（1）求函數
的單調區間；
（2）若函數
的圖像在點
處的切線的斜率為1，問：
在什么范圍取值時，對于任意的
，函數
在區間
上總存在極值？
【答案】（1）答案不唯一，見解析 （2）
【解析】
（1）利用平面向量數量積的坐標表示公式求出函數的解析式，再對函數求導，根據導函數的正負性分類討論求出函數的單調區間；
（2）根據函數
的圖像在點
處的切線的斜率為1，利用導數可以求出
的值，對
進行求導，由函數
在區間
上總存在極值，
問題可以轉化為
有兩個不等實根且至少有一個在區間內，根據二次方程根的分布進行求解即可.
解：（1）由題意知
定義域為
，則
∴當
時，函數
的單調增區間是
，單調減區間是
；
當
時，函數的單調增區間是，單調減區間是.
（2）由
得
,
，
∵函數在區間上總存在極值，
有兩個不等實根且至少有一個在區間內
又∵函數
是開口向上的二次函數，且
，
由
得
，
在
上單調遞減，
所以
；
，由
，解得
；
綜上得：
所以當
在內取值時，對于任意
，函數，在區間上總存在極值.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種植物感染
病毒極易導致死亡，某生物研究所為此推出了一種抗病毒的制劑，現對
株感染了病毒的該植株樣本進行噴霧試驗測試藥效.測試結果分“植株死亡”和“植株存活”兩個結果進行統計；并對植株吸收制劑的量(單位：
)進行統計規定：植株吸收在
（包括）以上為“足量”，否則為“不足量”.現對該株植株樣本進行統計，其中“植株存活”的
株，對制劑吸收量統計得下表.已知“植株存活”但“制劑吸收不足量”的植株共
株.
編號 |
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吸收量 |
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（1）完成以
下列聯表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過
的前提下，認為“植株的存活”與“制劑吸收足量”有關？
吸收足量 | 吸收不足量 | 合計 | |
植株存活 |
| ||
植株死亡 | |||
合計 |
|
（2）若在該樣本“制劑吸收不足量”的植株中隨機抽取
株，求這株中恰有株“植株存活”的概率.
參考數據：
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，其中
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】中石化集團通過與安哥拉國家石油公司合作，獲得了安哥拉深海油田區塊的開采權，集團在某些區塊隨機初步勘探了部分舊井，取得了地質資料.進入全面勘探時期后集團按網絡點來布置井位來進行全面勘探.由于勘探一口井的費用很高，如果新設計的井位與原有井位重合或接近，便利用舊井的地質資料，不必打這口新井，以節約勘探費用.勘探初期數據資料見下表：
井位 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
坐標 |
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鉆探深度 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 |
出油量 | 40 | 70 | 110 | 90 | 160 | 205 |
（1）若1
6號舊井位置滿足線性分布，借助前5組數據所求得的回歸直線方程為
，且
，求
，并估計
的預報值；
（2）現準備勘探新井7（1，25），若通過，1，3，5，7號井計算出的
，
的值與（1）中，的值的差不超過10%，則使用位置最接近的舊井
，否則在新位置打井，請判斷可否使用舊井？（注：其中的計算結果用四舍五入法保留一位小數）
參考數據：
參考公式：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現有甲乙丙丁四個人相互之間傳球，從甲開始傳球，甲等可能地把球傳給乙丙丁中的任何一個人，依此類推.
（1）通過三次傳球后，球經過乙的次數為ξ，求ξ的分布列和期望；
（2）設經過n次傳球后，球落在甲手上的概率為an，
（i）求a1,a2,an；
（ii）探究：隨著傳球的次數足夠多，球落在甲乙丙丁每個人手上的概率是否相等，并簡單說明理由.
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