Question

【題目】定義：若函數的導函數是奇函數，則稱函數是“雙奇函數”．函數．

（1）若函數是“雙奇函數”，求實數的值；

（2）若時，討論函數的極值點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）先求出導函數，再利用“雙奇函數”的定義即可求出的值；

（2）若時，對分情況討論，利用導數研究函數的單調性和極值．從而分析出函數的極值點．

（1），，

又函數是“雙奇函數”，

對任意且成立，

，

；

（2），且，

即

①當時，，

令得，，（舍去），

若，即，則，所以在上單調遞增，所以在區間上不存在極值點，

若，即，

當時，；當，時，，

所以在上單調遞減，在，上單調遞增，所以函數在區間上存在一個極值點，

②當時，，

令，得，記△，

若△，即時，，所以在上單調遞減，函數在區間上不存在極值點，

若△，即時，則由得，，，，

所以當時，；當，時，；當，時，，

所以在區間上單調遞減，在區間，上單調遞增，在區間，上單調遞減，

所以當時，函數存在兩個極值點，

綜上所求，當時，函數的極小值點，極大值點，

當時，函數無極值點，

當時，函數的極小值點，無極大值點．