Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求的單調區間；

（2）求函數的極值；

（3）若函數有兩個零點，求a的范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為（2）答案不唯一，具體見解析（3）

【解析】

（1）當時，求導得出，令導函數大于0和小于0，即可求出的單調區間；

（2）求導得，，分類討論當和時，利用導函數求出的單調性，結合單調性可求出函數的極值；

（3）由（2）可知當時，在上單調遞增，不可能有兩個零點；當時，函數有極大值，令，，，求出的單調區間和最小值，則根據題意討論當和當時存在另外一個零點，構造新函數，通過新函數的單調性和最值，結合分類討論思想，即可求出函數有兩個零點時，求a的范圍.

（1），.

由得，由得.

所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2），，

當時，，在上單調遞增，無極值；

當時，，，在上單調遞增；

，，在上單調遞減；

函數有極大值，無極小值.

（3）由（2）可知當時，在上單調遞增，不可能有兩個零點；

當時，函數有極大值，

令，，，

，，在上單調遞減；

在上單調遞增；

函數有最小值.

要使函數有兩個零點，必須滿足且，

下面證明：且時，函數有兩個零點.

因為，所以下面證明還有另一個零點.

①當時，，

，

令，，

在上單調遞減，，則，

所以在上有零點，又在上單調遞減，

所以在上有唯一零點，從而有兩個零點.

②當時，，，

易證，可得，

所以在上有零點，又在上單調遞減，

所以在在上有唯一零點，從而有兩個零點.

綜上，a的取值范圍是.