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【題目】已知橢圓：，該橢圓經過點，且離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設是圓上任意一點，由引橢圓的兩條切線，，當兩條切線的斜率都存在時，證明：兩條切線斜率的積為定值.

【答案】(1) .(2)見解析.

【解析】

（1）由橢圓經過點，可以求出的值，由離心率為，可知的關系，結合之間的，可以求出的值，這樣就求出橢圓的標準方程；

（2）設，且.點引橢圓的切線方程可設為，

與橢圓方程聯立，讓根的判斷式為零，得到一個關于的一元二次方程，利用根與系數的關系，可以證明出兩條切線斜率的積為定值.

（1）由題意得，解得，.

∴橢圓的標準方程為.

（2）設，且.

由題意知，過點引橢圓的切線方程可設為，

聯立化簡得.

∵直線與橢圓相切，

∴，

化簡得.

∴.

∴兩條切線斜率的積為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

（1）當時，直線與相切，求的值；

（2）若函數在內有且只有一個零點，求此時函數的單調區間；

（3）當時，若函數在上的最大值和最小值的和為1，求實數的值．

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【題目】如圖，在直三棱柱中，分別是棱上的點（點不同于點），且，為棱上的點，且．

求證：（1）平面平面；

（2）平面．

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【題目】已知橢圓過點，且橢圓的離心率．

（1）求橢圓的標淮方程；

（2）直線過點且與橢圓相交于、兩點，橢圓的右頂點為，試判斷是否能為直角．若能為直角，求出直線的方程，若不行，請說明理由．

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【題目】已知橢圓：的右焦點為，上頂點為，直線的斜率為，且原點到直線的距離為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若不經過點的直線：與橢圓交于兩點，且與圓相切.試探究的周長是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：，該橢圓經過點，且離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設是圓上任意一點，由引橢圓的兩條切線，，當兩條切線的斜率都存在時，證明：兩條切線斜率的積為定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某校為全面推進新課程改革，在高一年級開設了研究性學習課程，某班學生在一次研究活動課程中，一個小組進行一種驗證性實驗，已知該種實驗每次實驗成功的概率為．

求該小組做了5次這種實驗至少有2次成功的概率．

如果在若干次實驗中累計有兩次成功就停止實驗，否則將繼續下次實驗，但實驗的總次數不超過5次，求該小組所做實驗的次數的概率分布列和數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在等腰中，斜邊，為直角邊上的一點，將沿直線折疊至的位置，使得點在平面外，且點在平面上的射影在線段上設，則的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】

已知點A(2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；

（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G.

（i）證明：是直角三角形；

（ii）求面積的最大值.

（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分．

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