Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線過點，其參數方程為（為參數，）.以為極點，軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）已知曲線與曲線交于兩點，且，求實數的值.

Answer 1

【答案】(1) ;.(2) 或.

【解析】

（1）曲線參數方程消去參數，得到曲線的普通方程，根據極坐標與直角坐標的互化公式，代入即可得出曲線的直角坐標方程；

（2）設兩點所對應參數分別為，直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，利用韋達定理和直線參數方程中參數的幾何意義，得，根據，得，分類討論，即可求解.

（1）曲線參數方程為為參數，消去參數，得，

∴曲線的普通方程，

又由曲線的極坐標方程為，∴，

根據極坐標與直角坐標的互化公式，代入得，

整理得，即曲線的直角坐標方程.

（2）設兩點所對應參數分別為，，

將代入，得，

要使與有兩個不同的交點，則，即，

由韋達定理有，根據參數的幾何意義可知，，

又由，可得，即或，

∴當時，有，符合題意.

當時，有，符合題意.

綜上所述，實數的值為或.