Question

【題目】已知是橢圓的左、右頂點，為橢圓的左、右焦點，點為橢圓上一點（點在第一象限），線段與圓相切于點，且點為線段的中點.

（1）求線段的長；

（2）求橢圓的離心率；

（3）設直線交橢圓于兩點（其中點在第一象限），過點作的平行線交橢圓于點，交于點，求.

Answer 1

【答案】（1）2b; （2）; （3）.

【解析】

（1）由OQ為△的中位線，直接得解；

（2）由橢圓的定義結合直角三角形的勾股數建立a，b的方程，解得a，b的關系，從而可得離心率.

（3）由（2）可知及橢圓方程可設為，(t>0),聯立直線OQ的方程與橢圓方程求得M、N坐標，再聯立的方程與橢圓方程得到D坐標，從而可得直線BD的方程，再與直線OQ的方程聯立，解得，利用面積比轉化為線段比可得結果.

（1）連接OQ，，如圖，OQ為△的中位線，由題意知OQ=b，則=2b.

（2）由橢圓的定義結合（1）可得，，

則，得，解得，

則，故橢圓的離心率為.

（3）由（2）可知,設直線OQ的方程為x＝2y，橢圓方程設為，(t>0),

由得25y2＝，得到，，

又點作的平行線的方程設為x＝2y-3t，

由得4（2y-3t）2＝，即25-48ty=0，

解得y=0或y=，即D（），又B（3t，0）

∴直線BD的方程為y=，與聯立，解得，

由三角形的面積公式得==.