Question

【題目】已知數列滿足：①（）；②當（）時，；③當（）時，，記數列的前項和為.

（1）求，，的值；

（2）若，求的最小值；

（3）求證：的充要條件是（）.

Answer 1

【答案】（1），或1，或1；（2）115；（3）證明見解析.

【解析】

（1）先根據題中條件，求出，，，再結合題意，即可得出結果；

（2）先由題意，得到，當時，，由于，所以或，分別求出，，進而可求出結果；

（3）先由，根據題中條件，求出，證明必要性；再由，求出，證明充分性即可.

（1）因，，且是自然數，；

，，且都是自然數；或；

，，且，或．

（2）由題意可得：，當時，

，由于，

所以或，

，，

，，

又，

所以

（3）必要性：若，

則：①

②

①②得：③

由于或或，且或

只有當同時成立時，等式③才成立，

；

充分性：若，由于

所以，

即，，，…，，又

所以對任意的，都有…（I）

另一方面，由，

所以對任意的，都有…（II）

，

由于.