Question

【題目】以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準圓”，設橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，且滿足，.

（1）求橢圓及其“準圓"的方程；

（2）若過點的直線與橢圓交于、兩點，當時，試求直線交“準圓”所得的弦長；

（3）射線與橢圓的“準圓”交于點，若過點的直線，與橢圓都只有一個公共點，且與橢圓的“準圓”分別交于，兩點，試問弦是否為”準圓”的直徑?若是，請給出證明：若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）是準圓的直徑，具體見解析

【解析】

（1）根據所給條件可知，，根據面積公式可知 ，最后解方程組求解橢圓方程；

（2）設直線為，與橢圓方程聯立，，表示根與系數的關系，并且代入的數量積的坐標表示，求，最后代入直線和圓相交的弦長公式；

（3）首先求點的坐標，當直線與橢圓有一個交點時，，得到，可知 ，可知兩條切線互相垂直，根據圓的性質可得答案.

（1），

，，

，

準圓.

（2），設：

，

，

，

，

，

即

，圓心與該直線距離，

弦長.

（3）

，

整理為：

因為直線與圓只有1個交點，

整理為：

橢圓切線與垂直，即，

在準圓上，，也在準圓上，

，是準圓的直徑