Question

【題目】設， ，令， ， .

（1）寫出， ， 的值，并猜想數列的通項公式；

（2）用數學歸納法證明你的結論.

Answer 1

【答案】(1)a1＝1，a2＝，a3＝；a4＝，猜想an＝ （n∈N+）；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）由題意結合函數的解析式計算可得a2＝f（a1）＝，a3＝f（a2）＝；a4＝f（a3）＝，猜想an＝ （n∈N+）；

（2）首先證明n＝1時，猜想正確. 然后假設n＝k時猜想正確，即ak＝，證明n＝k＋1時猜想正確即可證得題中的結論.

試題解析：

（1）∵a1＝1，

∴a2＝f（a1）＝f（1）＝，

a3＝f（a2）＝；a4＝f（a3）＝，

猜想an＝ （n∈N+）；

（2）證明：①易知，n＝1時，猜想正確.

②假設n＝k時猜想正確，即ak＝，

則ak＋1＝f（ak）＝=.

這說明n＝k＋1時猜想正確.

由①②知，對于任何n∈N+，都有an＝.