Question

已知
（1）當時，求的極大值點；
（2）設函數的圖象與函數的圖象交于、兩點，過線段的中點做軸的垂線分別交、于點、，證明：在點處的切線與在點處的切線不平行.

Answer 1

（1）;（2）證明見解析.

試題分析：（1）極值點的求法是利用導數知識求解，求出，求得的解，然后確定當以及時的的符號，若當時，，當時，，則是極大值點，反之是極小值點；（2）題設中沒有其他的已知條件，我們只能設，則的橫坐標為，利用導數可得出切線的斜率，，題設要證明的否定性命題，我們用反證法，假設兩切線平行，即，也即，下面的變化特別重要，變化的意圖是把這個等式與已知函數聯系起來，等式兩邊同乘以，得
，從而等式變為，注意到，此等式為能否成立？能成立，說明存在平行，不能成立說明不能平行.設，仍然用導數的知識來研究函數的性質，，即是增函數，從而在時，，即等式不可能成立，假設不成立，結論得證.
試題解析：（1）
                2分
令h’(x)=0，則4x²+2x-1=0，
解出x₁=,x₂=                  3分
   4分
   5分
所以的極大值點為                   6分
（2）設P、Q的坐標分別是.
則M、N的橫坐標.
∴C₁在點M處的切線斜率為，
C₂在點N處的切線斜率為.            7分
假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則，
即                    8分
則
                       10分
設t=,則   ①
令則

∴r(t)在[1,+∞）上單調遞增，故r(t)>r(1)=0.
∴，這與①矛盾，假設不成立，
故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.        12分