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【題目】函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，求證：.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）對分類討論，利用導數證明單調性即可；

（2）構造函數利用導數得出的極值點，根據極值點得出，再次構造函數，利用導數證明其單調性，根據單調性得出，結合得出，再由的單調性，即可證明.

（1）函數，.

.

對分類討論：時，，可得：時，函數單調遞減；時，函數單調遞增.

時，令，.

時，，，則函數在上單調遞減.

且時，由，解得，.

.

時，，∴函數在，上單調遞減；在上單調遞增.

時，，∴函數在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）證明：

即

令

∴

可得函數在上單調遞減，在上單調遞增

∴時，函數取得極小值即最小值，

∵，∴

設，

∴函數在上單調遞增，∴

∴

∵，，在上單調遞增，∴

∴

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知斜三棱柱，，，，，.

（1）求的長；

（2）求與面所成的角的正切值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農作物造成嚴重傷害，每只紅鈴蟲的平均產卵數y和平均溫度x有關，現收集了以往某地的7組數據，得到下面的散點圖及一些統計量的值.（表中）

平均溫度

21

23

25

27

29

32

35

平均產卵數/個

7

11

21

24

66

115

325

27.429

81.286

3.612

40.182

147.714

（1）根據散點圖判斷，與（其中自然對數的底數）哪一個更適宜作為平均產卵數y關于平均溫度x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結果及表中數據，求出y關x的回歸方程.（計算結果精確到小數點后第三位）

（2）根據以往統計，該地每年平均溫度達到28℃以上時紅鈴蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達到28℃以上的概率為.

①記該地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率為，求的最大值，并求出相應的概率p.

②當取最大值時，記該地今后5年中，需要人工防治的次數為X，求X的數學期望和方差.

附：線性回歸方程系數公式.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為緩解日益擁堵的交通狀況，不少城市實施車牌競價策略，以控制車輛數量.某地車牌競價的原則是：①“盲拍”，即所有參與競拍的人都是網絡報價，每個人并不知曉其他人的報價，也不知道參與當期競拍的總人數；②競價時間截止后，系統根據當期車牌配額，按照競價人的出價從高到低分配名額.某人擬參加2018年10月份的車牌競價，他為了預測最低成交價，根據競拍網站的公告，統計了最近5個月參與競拍的人數（見表）：

月份

2018.04

2018.05

2018.06

2018.07

2018.08

月份編號t

1

2

3

4

5

競拍人數y(萬人)

0.5

0.6

m

1.4

1.7

（1）由收集數據的散點圖發現，可以線性回歸模擬競拍人數y(萬人)與月份編號t之間的相關關系.現用最小二乘法求得y關于t的回歸方程為，請求出表中的m的值并預測2018年9月參與競拍的人數；

（2）某市場調研機構對200位擬參加2018年9月車牌競拍人員的報價價格進行了一個抽樣調查，得到如下一個頻數表：

報價區間(萬元)

[1，2)

[2，3)

[3，4)

[4，5)

[5，6)

[6，7]

頻數

20

60

60

30

20

10

（i）求這200位競拍人員報價的平均值(同一區間的報價可用該價格區間的中點值代替)；

（ii）假設所有參與競拍人員的報價X服從正態分布，且為(i)中所求的樣本平均數的估值，.若2018年9月實際發放車牌數量為3174，請你合理預測(需說明理由)競拍的最低成交價.參考公式及數據：若隨機變量Z服從正態分布，則：，，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（其中為參數），以原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）求曲線的焦點的極坐標；

（2）若曲線的上焦點為，直線與曲線交于，兩點，，求直線的斜率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：.

（1）求橢圓C的離心率；

（2）設分別為橢圓C的左右頂點,點P在橢圓C上,直線AP,BP分別與直線相交于點M,N.當點P運動時,以M,N為直徑的圓是否經過軸上的定點？試證明你的結論.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，棱長為1的正方體中，是線段上的動點，則下列結論正確的是（ ）．

①異面直線與所成的角為

②

③三棱錐的體積為定值

④的最小值為2．

A.①②③B.①②④C.③④D.②③④

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】現代足球運動是世上開展得最廣泛、影響最大的運動項目，有人稱它為“世界第一運動”．早在2000多年前的春秋戰國時代，就有了一種球類游戲“蹴鞠”，后來經過阿拉伯人傳到歐洲，發展成現代足球．1863年10月26日，英國人在倫敦成立了世界上第一個足球運動組織——英國足球協會，并統一了足球規則．人們稱這一天是現代足球的誕生日．如圖所示，足球表面是由若干黑色正五邊形和白色正六邊形皮圍成的，我們把這些正五邊形和正六邊形都稱為足球的面，任何相鄰兩個面的公共邊叫做足球的棱．已知足球表面中的正六邊形的面為20個，則該足球表面中的正五邊形的面為______個，該足球表面的棱為______條．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】 已知函數f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)當a＝－3時，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．

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