Question

【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，四邊形ABCD為等腰梯形，BC∥AD，BC＝CDAD＝1，E為PA的中點．

（1）求證：EB∥平面PCD；

（2）求平面PAC與平面PCD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析 (2) ．

【解析】

（1）取AD中點F，連結EF、BF，推導出BF∥CD，EF∥PD，從而平面BEF∥平面PCD，由此能證明EB∥平面PCD．

（2）連結PF，則PF⊥平面ABCD，四邊形BCDF是邊長為1的菱形，△ABF是邊長為1的等邊三角形，以F為原點，在平面ABCD中過F作AD的垂線為x軸，FD為y軸，FP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面PAC與平面PCD所成角的余弦值．

（1）證明：取AD中點F，連結EF、BF，

∵BC∥AD，BC＝CDAD＝1，E為PA的中點，

∴BF∥CD，EF∥PD，

∵BF∩EF＝F，CD∩PD＝D，

∴平面BEF∥平面PCD，

∵EB平面BEF，∴EB∥平面PCD．

（2）解：連結PF，∵四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，

四邊形ABCD為等腰梯形，BC∥AD，BC＝CDAD＝1，E為PA的中點．

∴PF⊥平面ABCD，四邊形BCDF是邊長為1的菱形，△ABF是邊長為1的等邊三角形，

以F為原點，在平面ABCD中過F作AD的垂線為x軸，FD為y軸，FP為z軸，建立空間直角坐標系，

則P（0，0，1），A（0，﹣1，0），C（，，0），D（0，1，0），

（0，﹣1，﹣1），（，，﹣1），（0，1，﹣1），

設平面PAC的法向量（x，y，z），

則，取y＝1，得（，1，﹣1），

設平面PCD的法向量（x，y，z），

則，取y＝1，得（，1，1），

設平面PAC與平面PCD所成角為θ，

則cosθ．

∴平面PAC與平面PCD所成角的余弦值為．