Question

【題目】為篩查在人群中傳染的某種病毒，現有兩種檢測方法：

（1）抗體檢測法：每個個體獨立檢測，每一次檢測成本為80元，每個個體收取檢測費為100元．

（2）核酸檢測法：先合并個體，其操作方法是：當個體不超過10個時，把所有個體合并在一起進行檢測．

當個體超過10個時，每10個個體為一組進行檢測．若該組檢測結果為陰性（正常），則只需檢測一次；若該組檢測結果為陽性（不正常），則需再對每個個體按核酸檢測法重新獨立檢測，共需檢測k+1次（k為該組個體數，1≤k≤10，k∈N*）．每一次檢測成本為160元．假設在接受檢測的個體中，每個個體的檢測結果是陽性還是陰性相互獨立，且每個個體是陽性結果的概率均為p（0＜p＜1）．

（Ⅰ）現有100個個體采取抗體檢測法，求其中恰有一個檢測出為陽性的概率；

（Ⅱ）因大多數人群篩查出現陽性的概率很低，且政府就核酸檢測法給子檢測機構一定的補貼，故檢測機構推出組團選擇核酸檢測優惠政策如下：無論是檢測一次還是k+1次，每組所有個體共收費700元（少于10個個體的組收費金額不變）．已知某企業現有員工107人，準備進行全員檢測，擬準備9000元檢測費，由于時間和設備條件的限制，采用核酸檢測法合并個體的組數不得高于參加采用抗體檢測法人數，請設計一個合理的的檢測安排方案；

（Ⅲ）設，現有n（n∈N*且2≤n≤10）個個體，若出于成本考慮，僅采用一種檢測方法，試問檢測機構應采用哪種檢測方法？（ln3≈1.099，ln4≈1.386，ln5≈1.609，ln6≈1.792）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）見解析（Ⅲ）當n＝2時，采用抗體檢測法，當3≤n≤10，n∈N*時，采用核酸檢測法．

【解析】

（Ⅰ）利用n次獨立重復試驗中事件A恰好發生k次概率計算公式能求出其中恰有一個檢測出為陽性的概率；（Ⅱ）設安排x個個體采用抗體檢測法，y組個體采用核酸檢測法，根據已知條件列出不等式組，總檢測費用為z＝100x+700y，利用線性規劃設計合理的安排方案；（Ⅲ）分別求出兩種檢測法的成本期望，由EX＞EY推導出ln（），利用導數研究函數的單調性從而求出n的取值范圍，即可確定檢測方法．

（Ⅰ）現有100個個體采取抗體檢測法，其中恰有一個檢測出為陽性的概率為：

P．

（Ⅱ）設安排x個個體采用抗體檢測法，y組個體采用核酸檢測法，

則由條件知：，x，y∈N，

總檢測費用為．

畫出可行域如圖，

由，解得A（，），

則在可行域內臨近A點的整點有（10，10），（17，9），此時，Zmin＝8000，

即安排17人采取抗體檢測法，90人采用核酸檢測法，或者安排10人采取抗體檢測法，97人采用核酸檢測法，可使所有員工參加檢測，且費用偏低．

（Ⅲ）設采用抗體檢測法，檢測機構成本期望為EX，則，

采用核酸檢測，檢測機構成本期望為EY，

設采用核酸檢測法檢測次數為η，則η的取值只有1和n+1，

且， ，

∴，

∴，

設EX＞EY，則，即，

∵，∴，

∴，即，

設，則，

由，得，，得，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

又

，

，

∴當n≥3，時，EX＞EY，

∴當n＝2時，采用抗體檢測法，當3≤n≤10，時，采用核酸檢測法．