Question

【題目】已知函數.

(1)若只有個正整數解，求的取值范圍；

(2)①求證：方程有唯一實根，且；

②求的最大值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)①見解析；②

【解析】

(1)利用導數研究函數的單調性，可知當時，取得極大值，又，計算可知，只需再比較與的大小，即可求出的取值范圍；

(2)①由方程可得，發現等式兩側結構一致，可構造函數，利用導數判斷單調性后可得，設，再利用導數判斷單調性并結合零點存在性定理，即可得證；

② ，求導可得，結合①可判斷的單調性，進而可求出的最大值.

(1)因為，所以，令，得，

所以時，，是增函數，

時，是減函數，

所以當時，函數取得極大值，

因為，，又，

所以，又，

所以只有個正整數解為，，即的取值范圍是.

(2)①方程，即，

由得，，，

設，則，且，，

因為，所以在上為增函數，

所以，即

設，則在為增函數，且，，

所以存在唯一，使得，

即方程有唯一實根，且.

②，

則，

由①知有唯一零點，所以有唯一零點，

結合，，

可得時，，是增函數，

時，是減函數，

所以，

所以的最大值為.