Question

【題目】已知圓，直線，.

（1）證明：不論取任何實數，直線與圓恒交于兩點；

（2）當直線被圓截得的弦長最短時，求此最短弦長及直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）最短弦長為.直線的方程為.

【解析】

（1）把直線的方程變形后，根據直線恒過定點，得到關于與的二元一次方程組，求出方程組的解即為直線恒過的定點坐標，然后利用兩點間的距離公式求出此點到圓心的距離，發現小于圓的半徑，得到此點在圓內，故直線與圓恒交于兩點；

（2）由平面幾何知識可知，當直線與垂直時，所截取的線段最短，由圓心和定點的坐標求出直線的斜率，根據兩直線垂直時斜率的乘積為，求出直線的斜率，由的坐標和求出的斜率寫出直線的方程，再由與的坐標，利用兩點間的距離公式求出即為弦心距，根據圓的半徑，弦心距及弦的一半構成的直角三角形，利用勾股定理即可求出此時的弦長．

解：（1）證明：因為，

所以，

因為，所以

故直線過定點.

因為圓的圓心為，，，則點在圓內.

所以直線與圓恒交于兩點.

（2）由（1）知直線過定點，所以當直線被圓截得的弦長最短時有，

弦心距，

所以最短弦長為.

因為，所以，故直線的方程為.