Question

【題目】設函數f（x）的定義域為R，如果存在函數g（x），使得f（x）≥g（x）對于一切實數x都成立，那么稱g（x）為函數f（x）的一個承托函數．已知函數f（x）=ax2+bx+c的圖象經過點（﹣1，0）．
（1）若a=1，b=2．寫出函數f（x）的一個承托函數（結論不要求證明）；
（2）判斷是否存在常數a，b，c，使得y=x為函數f（x）的一個承托函數，且f（x）為函數 的一個承托函數？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=ax2+bx+c的圖象經過點（﹣1，0），

可得a﹣b+c=0，又a=1，b=2，

則f（x）=x2+2x+1，

由新定義可得g（x）=x為函數f（x）的一個承托函數

（2）解：假設存在常數a，b，c，使得y=x為函數f（x）的一個承托函數，

且f（x）為函數 的一個承托函數．

即有x≤ax2+bx+c≤ x2+ 恒成立，

令x=1可得1≤a+b+c≤1，即為a+b+c=1，

即1﹣b=a+c，

又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，

即為（a+c）2﹣4ac≤0，即有a=c；

又（a﹣ ）x2+bx+c﹣ ≤0恒成立，

可得a＜ ，且b2﹣4（a﹣ ）（c﹣ ）≤0，

即有（1﹣2a）2﹣4（a﹣ ）2≤0恒成立．

故存在常數a，b，c，且0＜a=c＜ ，b=1﹣2a，

可取a=c= ，b= ．滿足題意

【解析】（1）由題意可得c=1，進而得到f（x），可取g（x）=x；（2）假設存在常數a，b，c滿足題意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立問題解法，運用判別式小于等于0，化簡整理，即可判斷存在．