Question

【題目】已知函數，其中a，．

當時，若在處取得極小值，求a的值；

當時．

若函數在區間上單調遞增，求b的取值范圍；

若存在實數，使得，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）-2；（2）①；②.

【解析】

(1）代入b的值，求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的極值點，從而求出a的值即可；

（2）代入a的值，①求出函數的導數，通過討論b的范圍求出函數的單調區間，從而確定b的范圍即可；

②通過討論b的范圍，求出函數的導數，結合函數的單調性確定b的范圍即可．

（1）當時，因為，所以.

因為在處取得極小值，所以，解得：.

此時，，

當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增.

所以在處取得極小值.

所以符合題意.

（2）當時，因為，

所以.

令.

①因為在上單調遞增，所以在上恒成立，

即在上恒成立.

當時，則，滿足題意.

當時，因為的對稱軸為，

所以，解得或.

綜上，實數的取值范圍為.

②當時，，與題意不符.

當時，取，則.

令，則，

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

所以，即.

所以，

所以符合題意.

當時，

因為在遞增且

所以在上恒成立，所以在上單調遞增，

所以恒成立，與題意不符.

當時，

因為，，

由零點存在性原理可知，存在，使得，

所以當時，，單調遞減，

取，則，符合題意.

綜上可知，實數的取值范圍為.