Question

已知函數.
（Ⅰ）討論的單調性；
（Ⅱ）若恒成立，證明：當時，.

Answer 1

（Ⅰ）當時，在上遞增；當時，單調遞增；當時，單調遞減；（Ⅱ）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調區間、最值等數學知識和方法，突出考查分類討論思想和綜合分析問題和解決問題的能力.第一問是利用導數研究函數的單調性，但是題中有參數，需對參數進行討論，可以轉化為含參一元一次不等式的解法；第二問先是恒成立問題，通過第一問的單調性對進行討論，通過求函數的最大值求出符合題意的，表達式確定后，再利用函數的單調性的定義，作差，放縮法證明不等式.
試題解析：（Ⅰ）．
若，，在上遞增；
若，當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減．                  5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若，在上遞增，
又，故不恒成立．
若，當時，遞減，，不合題意．
若，當時，遞增，，不合題意．
若，在上遞增，在上遞減，
符合題意，
故，且（當且僅當時取“”）．              8分
當時，
，
所以．                     12分
考點：1.利用導數求函數的單調性；2.恒成立問題；3.分類討論思想和放縮法的應用.