Question

【題目】已知圓O：與直線相切．

（1）求圓O的方程；

（2）若過點的直線l被圓O所截得的弦長為4，求直線l的方程；

（3）若過點作兩條斜率分別為，的直線交圓O于B、C兩點，且，求證：直線BC恒過定點．并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）證明詳見解析，該點坐標為．

【解析】

（1）利用圓心到直線的距離等于半徑即可求出.

（2）根據題意可得圓心到直線的距離，分類討論，當斜率不存在時，，滿足題意；當直線的斜率存在，利用點斜式求出直線方程，再利用點到直線的距離公式即可求解.

（3）設直線AB：，直線： ，分別與圓的方程聯立，求出點、，進而求出直線BC方程，根據直線方程即可求解.

解：（1）圓O：與直線相切，

圓心到直線的距離等于半徑，即，

，

圓O的方程為；

（2）直線l被圓O所截得的弦長為4，

圓心到直線的距離，

斜率不存在時，，滿足題意；

斜率存在時，設方程為，

即，

圓心到直線的距離，，

直線l的方程為，

綜上所述，直線l的方程為或；

（3）由題意知，設直線AB：，

與圓方程聯立，消去y得：，

，，即，

設直線： ，

與圓的方程聯立，消去y得：，

，，

，用代替得：，

直線BC方程為，

令，可得，則直線BC定點