Question

【題目】如圖，在三棱錐中，是邊長為2的正三角形，是等腰直角三角形，.

（I）證明：平面平面ABC；

（II）點E在BD上，若平面ACE把三棱錐分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）

【解析】

（I）取AC的中點O，連接OD，OB，推導出，，從而為二面角的平面角，由此即可證明平面平面ABC；

（II）以O為坐標原點，OA、OB、OD分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求面面角即可.

（I）取AC的中點O，連接OD，OB，

由題設可知，是等腰直角三角形，且，從而.

所以，

又由于是正三角形，故.

所以為二面角的平面角.

在中，.

又，而，

所以.

故，所以平面平面ABC.

（II）由題設及（I）知，OA，OB，OD兩兩垂直，

以O為坐標原點， OA、OB、OD分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

則.

由題設知，三棱維的體積為三棱錐的體積的.

從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點，得.

故.

設是平面ACE的法向量，則，即，

令，得，故.

設是平面DCE的法問量，

則，即,

令，得，，

故.

則，

所以二面角的余弦值為.