Question

【題目】已知函數.

（1）若.證明函數有且僅有兩個零點；

（2）若函數存在兩個零點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）當時，函數，定義域為，利用導數分析其單調性，使在單調遞減，在單調遞增，進而分別計算并判斷，，與零的大小比較，最后由零點的存在性定理即可確定零點的個數；

（2）由是函數的兩個零點，知，進而表示，再由分析法逐步反推不等式，最后令，構造函數，由（1）的單調性分析，表示最小值并由雙勾函數證得，即可得證.

（1）由題可知，定義域

當時，函數，則，（為的導函數）

單調遞增

，

使.

時，單調遞減；時，單調遞增

所以

由雙勾函數性質可知，在遞減，，，且，

在上有且只有一個零點

又，且

所以在上有且只有一個零點

綜上，函數有且僅有兩個零點

（2）由是函數的兩個零點，知

要證

需證

令

需證

令

與（1）同理得

所以

故