Question

【題目】已知函數， ．

（1）試比較與的大小關系，并給出證明；

（2）解方程： ；

（3）求函數， （是實數）的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）或．（3）

【解析】試題分析：（1）與作差，配方后即可得；（2）原方程化為，設，可得，進而可得結果；（3）令，則，函數可化為，利用二次函數的性質分情況討論，分別求出兩段函數的最小值，比較大小后可得各種情況下函數， （是實數）的最小值.

試題解析：（1）因為，

所以．

（2）由，得，

令，則，故原方程可化為，

解得，或（舍去），

則，即，解得或，

所以或．

（3）令，則，

函數可化為

①若，

當時， ，對稱軸，此時；

當時， ，對稱軸，此時，

故， ．

②若，

當， ，對稱軸，此時；

當時， ，對稱軸，此時，

故， ．

③若，

當時， ，對稱軸，此時；

當時， ，對稱軸，此時，故， ；

④若，

當時， ，對稱軸，此時；

當時， ，對稱軸，此時，

則時， ，

時， ，

故，

⑤若，

當時， ，對稱軸，此時；

當時， ，對稱軸，此時，

因為時， ，

故， ．

綜述：