Question

【題目】已知函數的定義域為，且是偶函數.

（1）求實數的值；

（2）證明：函數在上是減函數；

（3）當時， 恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ， 時，函數是奇函數;(2)見解析;（3）實數的取值范圍為.

【解析】試題分析：（1）根據函數的奇偶性，由定義可得代入特值， ，可得結果；（2）根據定義做差 ，提公因式和0 比較即可得單調性；（3）結合第一問和第二問得到的奇偶性和單調性，將原式變形得到

，轉化為上式恒成立求參，變量分離即可。

(1)∵是偶函數，

∴為定義在 上的奇函數，∴，∴.

又∵，∴，解得.

校驗知，當， 時，函數是奇函數.

(2)由（1）知 ，

任取，且，則 .

∵函數在上是增函數，且，∴， ，

∴，即，∴函數在上是減函數.

(3)∵是奇函數，從而不等式等價于，∴，即對一切恒成立.

設，

令， ，則有， ，

∴，∴，

故實數的取值范圍為.