Question

【題目】已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓的離心率為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點、，在軸上是否存在點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在點，使得

【解析】

（1）先求出拋物線的焦點，從而得到橢圓的，再結合離心率以及即可求出的值，從而求出橢圓方程.

（2）先假設存在，然后設出直線的方程，結合韋達定理以及向量數量積的坐標運算，利用與來表示，要使得其為定值，則與無關，即可求出的值，并求出的值，再驗證當直線斜率為0也符合即可.

解：（Ⅰ）∵拋物線的焦點為，∴，∴，

又因為橢圓的離心率為，即，∴，，則，

因此，橢圓的方程為；

（Ⅱ）假設存在點，使得為定值．

當直線的斜率不為零時，可設直線的方程為，

聯立，得，

設、，由韋達定理可得，，

、，

∴

，

要使上式為定值，即與無關，應有，解得，此時，.

當直線的斜率為零時，不妨設、，當點的坐標為時，．

綜上所述，存在點，使得．