Question

【題目】如圖，已知中，，平面，是的中點.

（Ⅰ）若是的中點，求證：平面平面；

（Ⅱ）若，求平面與平面所成的銳二面角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

試題（Ⅰ）由平面得，由得，所以平面，又E、F分別是AC、AD的中點，所以平面，所以平面平面；（Ⅱ）解法1：（坐標法）建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，解得平面的發向量，而平面的法向量是=，通過空間向量的數量積運算求出法向量的夾角的余弦為，所以銳二面角的大小為；法2：（先作出二面角的平面角，再在三角形中求出角的大�。�.延長,交的延長線于，連結， 過作于過作于，連結,則，易證為所求二面角的平面角，在中可求得，在中，可以解得，所以在中，，即平面與平面所成的銳二面角為.

試題解析：（Ⅰ）證明：平面，．

又平面.

E、F分別是AC、AD的中點，．

平面，平面，

平面平面．

（Ⅱ）解法1：如圖建立空間直角坐標系則

,

,

設平面，

則，取

平面的法向量是=，

， 所以，平面與平面所成的銳二面角為．

法2：延長,交的延長線于，連結， 過作于

則平面，

過作于，連結,則，

即為所求二面角的平面角．

,

在中，可以解得，

在中，，即平面與平面所成的銳二面角為．