Question

【題目】已知函數.

（1）若，，且在上的最大值為，最小值為，試求，的值；

（2）若，，且對任意恒成立，求的取值范圍.（用來表示）

Answer 1

【答案】(1)；(2) 當時，；當時，.

【解析】

（1）求得二次函數的對稱軸，根據對稱軸和區間的位置關系，分類討論，待定系數即可求得；

（2）對參數進行分類討論，利用對勾函數的單調性，求得函數的最值，即可容易求得參數范圍.

（1）由題可知是開口向下，對稱軸為的二次函數，

當時，二次函數在區間上單調遞增，

故可得顯然不符合題意，故舍去；

當，二次函數在單調遞增，在單調遞減，

且當時，取得最小值，故，不符合題意，故舍去；

當時，二次函數在處取得最小值，在時取得最大值.

則；，整理得；

則，解得或（舍），

故可得.

綜上所述：.

（2）由題可知，

因為對任意恒成立，

即對任意恒成立，

即對任意恒成立，

令，則，且.

因為，故可得.

①當，即時，

在區間單調遞減，

故，

則，

解得.

此時，，也即，

故.

②當，即時，

在單調遞減，在單調遞增.

，即

又因為，，

則，

故的最大值為，

則，解得，

此時，

故可得.

綜上所述：

當時，；

當時，.