已知二次函數
的圖象經過坐標原點，其導函數為
,數列
的前
項和為
,點
均在函數的圖像上.
（1）求的解析式；
（2）求數列的通項公式；
（3）設
,
是數列
的前n項和,求使得
對所有
都成立的最小正整數
.
（1）
（2）
（3）10
解析試題分析：（1）利用導函數及待定系數法求解；（2）利用
與
的關系
求通項公式，要注意對進行討論；（3）數列求和的方法由數列的通項公式決定.常用的方法有：公式求和法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組轉化法等。先利用裂項相消法求和，再求其最大值，就得到
的取值范圍.
試題解析：（1）依題意設二次函數
，則
. 1分
由于，得：
2分
所以. 3分
（2）由點
均在函數的圖像上，又，
所以
. 4分
當
時，
5分
當
時，
7分
所以，
8分
（3）由（2）得知
＝
9分
＝
， 11分
故
＝
＝
. 12分
要使
（
）成立，需要滿足≤，13分
即
，所以滿足要求的最小正整數m為10. 14分
考點：1.導數運算 2.通項公式、前n項和的求法 3.函數（數列）最值的求法
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
2013年我國汽車擁有量已超過2億（目前只有中國和美國超過2億），為了控制汽車尾氣對環境的污染，國家鼓勵和補貼購買小排量汽車的消費者，同時在部分地區采取對新車限量上號.某市采取對新車限量上號政策，已知2013年年初汽車擁有量為
（=100萬輛），第
年（2013年為第1年，2014年為第2年，依次類推）年初的擁有量記為
，該年的增長量
和與
的乘積成正比，比例系數為
其中
=200萬.
（1）證明：
；
（2）用表示
；并說明該市汽車總擁有量是否能控制在200萬輛內.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知正項數列
的前
項和為
，
是
與
的等比中項.
（1）求證：數列是等差數列；
（2）若
，且
，求數列
的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若
，求數列
的前項和
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
中，
，前
和
（Ⅰ）求證：數列是等差數列； （Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）設數列
的前項和為
，是否存在實數
，使得
對一切正整數都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知無窮數列
中，
、
、
、
構成首項為2，公差為－2的等差數列，
、
、、
，構成首項為
，公比為的等比數列，其中
，
.
（1）當
，，時，求數列的通項公式；
（2）若對任意的
，都有
成立．
①當
時，求
的值；
②記數列的前
項和為
．判斷是否存在，使得
成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
給定常數
，定義函數
，數列
滿足
.
（1）若
，求
及
；
（2）求證：對任意
，；
（3）是否存在
，使得
成等差數列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.
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和公比為
的等比數列
滿足：
，
，
．
的前
項和為
，且對任意
均有
成立，試求實數
的取值范圍．
滿足
．
，
，
，
，由此猜想通項公式
，并用數學歸納法證明此猜想；
滿足
，求證：
．
的各項都是正數，前
項和為
,且對任意
，都有
.
； （2）求數列