Question

【題目】已知函數 ．
（1）函數f（x）在區間（0，+∞）上是增函數還是減函數？證明你的結論；
（2）當x＞0時， 恒成立，求整數k的最大值；
（3）試證明：（1+12）（1+23）（1+34）…（1+n（n+1））＞e2n﹣3 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題 ，

故f（x）在區間（0，+∞）上是減函數；

（2）解：當x＞0時， 恒成立，即 在（0，+∞）上恒成立，

取 ，則 ，

再取g（x）=x﹣1﹣ln（x+1），則 ，

故g（x）在（0，+∞）上單調遞增，

而g（1）=﹣ln2＜0，g（2）=1﹣ln3＜0，g（3）=2﹣2ln2＞0，

故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一實數根a∈（2，3），a﹣1﹣ln（a+1）=0，

故x∈（0，a）時，g（x）＜0；x∈（a，+∞）時，g（x）＞0，

故 ，故kmax=3

（3）證明：由（2）知： ，∴

令 ，

又ln[（1+12）（1+23）（1+34）…（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1）） =

即：（1+12）（1+23）（1+34）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3

【解析】（1）求導函數，確定導數的符號，即可得到結論；（2）當x＞0時， 恒成立，即 在（0，+∞）上恒成立，構造函數，求出函數的最小值，即可求整數k的最大值；（3）由（2）知： ，從而令 ，即可證得結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握不等式的證明(不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等)的相關知識才是答題的關鍵．