Question

【題目】某樂隊參加一戶外音樂節，準備從3首原創新曲和5首經典歌曲中隨機選擇4首進行演唱．
（1）求該樂隊至少演唱1首原創新曲的概率；
（2）假定演唱一首原創新曲觀眾與樂隊的互動指數為a（a為常數），演唱一首經典歌曲觀眾與樂隊的互動指數為2a．求觀眾與樂隊的互動指數之和 的概率分布及數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設“至少演唱1首原創新曲”為事件 ，

則事件 的對立事件 為：“沒有1首原創新曲被演唱”．

所以 ．

答：該樂隊至少演唱1首原創新曲的概率為 ．

（2）

設隨機變量 表示被演唱的原創新曲的首數，則 的所有可能值為0，1，2，3．

依題意， ，故 的所有可能值依次為8a，7a，6a，5a．

則 ，

，

，

．

從而 的概率分布為：

所以 的數學期望 ．

【解析】（1.）從正面分析可能性太多可從反面分析即求出4首全是經典歌曲的概率，然后用1減去4首全是經典歌曲的概率。
（2.）由已知得X的可能取值為8a，7a，6a，5a分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列及數學期望．