Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系 中，已知橢圓 的離心率為 ，C為橢圓上位于第一象限內的一點．

（1）若點 的坐標為 ，求a，b的值；
（2）設A為橢圓的左頂點，B為橢圓上一點，且 ，求直線AB的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因為橢圓的離心率為 ，

所以 ，即 ．①

又因為點 在橢圓上，

所以 ． ②

由①②解得 ．

因為 ，所以 ．

（2）

法一：由①知， ，所以橢圓方程為 ，即 ．

設直線OC的方程為 ， ， ．

由 得 ，

所以 ．因為 ，所以 ．

因為 ，所以 ．可設直線 的方程為 ．

由 得 ，

所以 或 ，得 ．

因為 ，所以 ，于是 ，

即 ，所以 ．

所以直線AB的斜率為 ．

法二：由（1）可知，橢圓方程為 ，則 ．

設 ， ．

由 ，得 ，

所以 ， ．

因為點B，點C都在橢圓 上，

所以

解得 ， ，

所以直線AB的斜率 ．

【解析】（1）將點代入橢圓，結合a,b,c的關系即可求出a,b。（2）設出B，C點，由 向量關系得到點B、C間坐標關系，再將點B或C代入橢圓解出B或C點，即可求出斜率。